等差数列 (Arithmetic Progression)

一连串有次序的数,称为数列(sequence)。其中的数,称为项(term);第一个项,称为首项,以 \(a_1\) 表示;第 \(n\) 个项以 \(a_n\)表示。若数列中每一个后项减去前项的值固定时,则称此数列为等差数列(Arithmetic Progression,简写为AP),我们将此固定差值称为公差(common difference),以 \(d\) 表示。

因为 \(a_2-a_1=d\),所以 \(a_2=a_1+d\)。又 \(a_3-a_2=d\),所以 \(a_3=a_2+d=a_1+2d\)。我们很容易推得 \(a_n=a_1+(n-1)d,~n\in \mathbb{N}\)。进一步可得 \({a_n} = {a_m} + (n – m)d\),其中 \(n,m\in \mathbb{N}\)。

例1:若 \(\) 为等差数列,\(a_1=-3\) 且 \(d=2\),求 \(a_{10}=?\)

解答:\(a_{10}=a_1+(10-1)d=-3+9\times 2=15\)

例2:若 \(\) 为等差数列,\(a_{15}=7\) 且 \(d=-4\),求 \(a_{99}=?\)

解答:\({a_{99}} = {a_{15}} + (99 – 15)d = 7 + 84 \times ( – 4) = 7 – 336 =-329\)

特别地,当三数 \(a,b,c\) 成等差数列时,其中的 \(b\) 称为等差中项(Arithmetic Mean,简写为AM)。根据公差的定义,可得 \(b-a=c-b\),即 \(b=\frac{a+c}{2}\)。

接着介绍一个数学游戏-拈(Nim),此游戏源自于将十二枚硬币分三列排成「三、四、五」的游戏,如下图:

第一列:\(\otimes~~~\otimes~~~\otimes\)
第二列:\(\otimes~~~\otimes~~~\otimes~~~\otimes\)
第三列:\(\otimes~~~\otimes~~~\otimes~~~\otimes~~~\otimes\)

游戏规则是两人轮流取硬币,每人每次在某一列取一枚或取一枚以上的硬币,但不能同时在两列中取硬币,直到最后将硬币取完的人,赢得此游戏。也可以规定:最后将硬币取完的人为输。

现在将拈这个游戏设计成跟等差数列有关。例如:袋中有 \(12\) 个硬币,甲乙两人轮流取硬币,每人每次可取一枚、二枚、三枚或取四枚硬币,若由甲先取硬币,最后将硬币取完的人,赢得此游戏。请问甲是否有致胜策略?

等差数列 (Arithmetic Progression)

解法:

因为 \(1+4=5\),所以 \(12-5-5=2\)。因此甲的致胜策略为先取 \(2\) 个硬币。接着若乙取 \(1\) 个,则甲取 \(4\) 个;若乙取 \(2\) 个,则甲取 \(3\) 个;若乙取 \(3\) 个,则甲取 \(2\) 个;若乙取 \(4\) 个,则甲取 \(1\) 个,以此类推,甲最后必能将硬币取完,赢得此游戏,其过程中也形成公差为 \(5\) 的等差数列 \(10,5,0\)。

进一步思考,若袋中有 \(48\) 个硬币,甲乙两人轮流取硬币,每人每次可取一枚、二枚、三枚或取四枚硬币,若由甲先取硬币,最后将硬币取完的人,赢得此游戏。则甲致胜策略为先取 \(48-9(1+4)=3\) 个,则等差数列为 \(45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0\)。

等差数列结合矩阵会是很棒的数学竞试问题。如下题共有十个不同公差的等差数列,解法必须考虑等差数列第 \(n\) 项公式,及简单的分点公式,还有等差中项的思考,因此能够顺利解出问题的学生必有很清楚的数学思维,读者何妨试试看!

若有一个 \(5\times 5\) 阶的矩阵 \(A = {[{a_{ij}}]_{5 \times 5}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}}&{{a_{15}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}}&{{a_{25}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}}&{{a_{35}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}}&{{a_{45}}}\\ {{a_{51}}}&{{a_{52}}}&{{a_{53}}}&{{a_{54}}}&{{a_{55}}} \end{array}}\right]\),

其中 \(a_{22}=74\),\(a_{35}=166\),\(a_{43}=103\),\(a_{51}=0\),矩阵内各行与各列都成等差数列(直的为行,横的为列),则下列何者正确 ﹖

(1) \({a_{ij}} \ge 0\) , \(1\le i,j\le 5\)

(2) \(a_{52}=53\)

(3) \(a_{14}=120\)

(4) \(\sum\limits_{i = 1}^5{{a_{i1}} = 170}\)

(5)  \({a_{11}},{a_{22}},{a_{33}}\) 成等差数列

解法:

因为 \({a_{51}},{a_{52}},{a_{53}},{a_{54}},{a_{55}}\) 成等差数列,且 \(a_{51}=0\),所以可令 \({a_{52}} = d,{a_{55}} = 4d\)。

又 \({a_{22}},{a_{32}},{a_{42}},{a_{52}}\) 成等差数列,所以 \({a_{42}} = \frac{{1\cdot{a_{22}} + 2\cdot{a_{52}}}}{3} = \frac{{74 + 2d}}{3}\)。

又因为 \({a_{35}},{a_{45}},{a_{55}}\) 成等差数列,知 \(a_{45}\) 为 \(a_{35},a_{55}\) 的等差中项,

得 \({a_{45}} = \frac{{{a_{35}} + {a_{55}}}}{2} = \frac{{166 + 4d}}{2} = 83 + 2d\)。

再根据 \({a_{42}},{a_{43}},{a_{44}},{a_{45}}\) 成等差数列,

得 \({a_{43}} = \frac{{2\cdot {a_{42}} + 1\cdot {a_{45}}}}{3} = \frac{{2\left( {\frac{{74 + 2d}}{3}} \right) + (83 + 2d)}}{3}\);

将 \(a_{43}=103\) 代入,即 \(103 = \frac{{{\textstyle{{148} \over 3}} + {\textstyle{{4d} \over 3}} + 83 + 2d}}{3}\),故得 \(d=53\)。

代入得矩阵  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} {68}&{81}&{94}&{107}&{120}\\ {51}&{74}&{97}&{120}&{143}\\ {34}&{67}&{100}&{133}&{166}\\ {17}&{60}&{103}&{146}&{189}\\ 0&{53}&{106}&{159}&{212} \end{array}} \right]\)。因此本题的正确选项为 \((1)(2)(4)\)。

参考文献: